Question

（一、二级达标校做）
已知函数f（x）=2x+

λ

2x

(x∈R，λ∈R)．
（Ⅰ） 讨论函数的f（x）奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）当λ=1时，讨论方程f（x）=μ（μ∈R）在x∈[-1，1]上实数解的个数情况，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）定义域R关于原点对称，分λ=1、λ=-1、λ≠±1三种情况分别利用奇函数和偶函数的定义判断函数的奇偶性．
（Ⅱ）方程即 2x+

1

2x

=μ，令t=2^x，由于-1≤x≤1，可得

1

2

≤t≤2，g（t）=t+

1

t

 的值域为[2，2]，由此求出方程t+

1

t

=μ的实数解的个数．

解答：解：（Ⅰ）∵x∈R，定义域关于原点对称．
当λ=1时，f（-x）=2-x+

1

2-x

=2x+

1

2x

=f（x），此时f（x）为偶函数．
当λ=-1时，f（-x）=2-x+

-1

2-x

=

1

2x

-2x=-f（x），此时f（x）为奇函数．
当λ≠±1时，f（-x）=2-x+

λ

2-x

，显然f（-x）≠f（x），且 f（-x）≠-f（x），故f（x）为非奇非偶函数．
（Ⅱ）当λ=1时，f（x）=2x+

1

2x

，方程f（x）=μ（μ∈R），即 2x+

1

2x

=μ．
令t=2^x，由于-1≤x≤1，∴

1

2

≤t≤2．
再由 g（t）=t+

1

t

在[

1

2

，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数．
∴g（t）的最小值为g（1）=2，最大值为f（

1

2

）=

5

2

，或 g（2）=

5

2

，
故 g（t）的值域为[2，2]，方程即t+

1

t

=μ．
当μ＜2或μ＞

5

2

时，解的个数为0；
当μ=2时，解的个数为1；
当2＜μ≤

5

2

解的个数为2．

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，函数的奇偶性的判断，体现了转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．