Question

已知函数，.
（Ⅰ）若函数的图象在处的切线与直线平行，求实数的值；
（Ⅱ）设函数，对满足的一切的值，都有成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，请问：是否存在整数的值，使方程有且只有一个实根？若存在，求出整数的值；否则，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）                            ..........（1分）
且由已知得:                          ........（2分）
                 ...........（3分）
（Ⅱ）
                 .......（4分）
令，即              则依题意：对满足的一切的值，都有 ，即
解得：              ......................（6分）
（Ⅲ）存在          ........................（7分）
理由如下： 方程有且只有一个实根即为函数的图象与直线只有一个公共点
（1）若,则,在实数集R上单调递增
此时,函数的图象与直线只有一个公共点......（8分）
（2）若，则       ..........（9分）
列表如下：

	+	0		0

依题意，必须满足，即
综上：...................(11分)
又是整数，可取所以，存在整数的值为，使方程有且只有一个实根

略