Question

（2012•合肥一模）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，函数f(B)=

3

2

sinB+sin2

B

2

+1．
（1）求函数f（B）值域；
（2）若f(B)=

3

2

，b=2，c=2

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的基本关系式可将f（B）=

3

2

sinB+sin2

B

2

+1转化为：f（B）=sin（B-

π

6

）+

3

2

，由B的范围可求得B-

π

6

的范围，继而利用正弦函数的性质可求得函数f（B）值域；
（2）由f（B）=

3

2

求得B=

π

6

，再利用余弦定理可求得a的值．

解答：解：（1）在△ABC中，
∵f（B）=

3

2

sinB+sin2

B

2

+1
=

3

2

sinB+

1

2

（1-cosB）+1
=sin（B-

π

6

）+

3

2

，
B∈（0，π），
∴B-

π

6

∈（-

π

6

，

5π

6

），
∴-

1

2

＜sin（B-

π

6

）≤1，1＜f（B）≤

5

2

，
∴f（B）∈（1，

5

2

]…6分
（2）由f（B）=

3

2

得sin（B-

π

6

）=0，而B-

π

6

∈（-

π

6

，

5π

6

），
∴B-

π

6

=0，B=

π

6

．又b=2，c=2

3

，
由余弦定理得，a²+c²-2accosB=b²，
即a²-6a+8=0，
∴a=4或a=2…12分

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查解三角形，考查分析与转化的能力，属于中档题．