题目内容

(2012•合肥一模)函数f(x)=lnx-ax(a>0).
(1)当a=2时,求f(x)的单调区间与极值;
(2)对?x∈(0,+∞),f(x)<0恒成立,求实数a的范围.
分析:(1)利用导数求函数的单调区间与极值,先求导数,令导数大于0,解得x的范围为函数的增区间,令导数小于0,解得x的范围为函数的减区间.减区间与增区间的分界点为极值点,且当极值点左侧导数为正,右侧导数为负时,为极大值,当极值点左侧导数为负,右侧导数为正时,为极小值.
(2)由条件可得
lnx
x
<a(x>0)恒成立,等价于
lnx
x
的最大值<a,令h(x)=
lnx
x
(x>0),用导数求出
lnx
x
-x的最大值即可.
解答:解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x)=
1
x
-2=
1-2x
x
,令f′(x)=0,得x=
1
2
,如下表

∴f(x)在(0,
1
2
)上是增函数,在(
1
2
,+∞)上是减函数,
∴f(x)极大值=f(
1
2
)=-ln2-1,无极小值.
(2)由条件可得
lnx
x
<a(x>0)恒成立,等价于
lnx
x
的最大值<a,
令h(x)=
lnx
x
(x>0),则h′(x)=
1-lnx
x2

则当x∈(0,e)时,h′(x)>0,又当x∈(e,+∞)时,h′(x)<0,
所以h(x)max=h(e)=
1
e

所以a>
1
e
点评:本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,及函数的单调性与导数的关系,其中根据已知条件求出导函数是解答本题的关键.
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