Question

12．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左右焦点分别为F₁，F₂，且经过点$P（{0，\sqrt{5}}）$，离心率为$\frac{2}{3}$，A为直线x=4上的动点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点B在椭圆C上，满足OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）列出$\left\{\begin{array}{l}b=\sqrt{5}\\ e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}\\{a^2}={b^2}+{c^2}.\end{array}\right.$，然后求解椭圆方程．
（Ⅱ）点B在椭圆C上，设B（m，n），$n∈[{-\sqrt{5}，0}）∪（{0，\sqrt{5}}]$，A（4，y）．通过$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，得到4m+ny=0．求出|AB|²的表达式，通过设t=n²，t∈（0，5]，利用函数的导数求解函数的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}b=\sqrt{5}\\ e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}\\{a^2}={b^2}+{c^2}.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ c=2.\end{array}\right.$，可得a=3，b=$\sqrt{5}$．
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$．
（Ⅱ）点B在椭圆C上，设B（m，n），$n∈[{-\sqrt{5}，0}）∪（{0，\sqrt{5}}]$，A（4，y）．
因为OA⊥OB，所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即4m+ny=0．
因为点B在椭圆C上，所以$\frac{m^2}{9}+\frac{n^2}{5}=1$，
所以|AB|²=（m-4）²+（n-y）²=m²-8m+16+n²-2ny+y²=m²-8m+16+n²+8m+y²，
=m²+16+n²+y²
=${m^2}+16+{n^2}+{（{\frac{-4m}{n}}）^2}$
=$9（{1-\frac{n^2}{5}}）+16+{n^2}+\frac{{16×9（{1-\frac{n^2}{5}}）}}{n^2}$，
=$\frac{144}{n^2}-\frac{{4{n^2}}}{5}-\frac{19}{5}$
设t=n²，t∈（0，5]
设$g（t）=\frac{144}{t}-\frac{4t}{5}-\frac{19}{5}$．
因为${g^'}（t）=\frac{-144}{t^2}-\frac{4}{5}＜0$，
所以g（t）在（0，5]上单调递减．
所以当t=5，即$n=±\sqrt{5}$时，${|{AB}|_{min}}=\sqrt{21}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，函数的导数求解函数的最值，考查转化思想以及计算能力．