题目内容
已知：f（x）=lg（ax-bx）（a＞1＞b＞0）．（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）在其定义域内的单调性；
（3）若f（x）在（1，+∞）内恒为正，试比较a-b与1的大小．
分析：（1）由对数的真数大于零得，ax-bx＞0，再由a＞1＞b＞0和指数函数的性质，求出不等式解集即函数的定义域；
（2）先在定义域任取两个自变量，即x2＞x1＞0，利用指数函数的性质比较对应真数的大小，再根据y=lgx在定义域上是增函数，得出f（x2）与f（x1）的大小，判断出此函数的单调性；
（3）根据（2）证出的函数单调性，求出此区间内的函数的最小值f（1），只要f（1）≥0成立即可，代入函数解析式，利用lg1=0判断a-b与1的大小．
（2）先在定义域任取两个自变量，即x2＞x1＞0，利用指数函数的性质比较对应真数的大小，再根据y=lgx在定义域上是增函数，得出f（x2）与f（x1）的大小，判断出此函数的单调性；
（3）根据（2）证出的函数单调性，求出此区间内的函数的最小值f（1），只要f（1）≥0成立即可，代入函数解析式，利用lg1=0判断a-b与1的大小．
解答：解：（1）要使函数有意义，则ax-bx＞0，∴(
)x＞1，
∵
＞1，∴x＞0，∴f（x）的定义域为（0，+∞）．
（2）设x2＞x1＞0，∵a＞1＞b＞0，
∴ax2＞ax1，bx1＞bx2，则-bx2＞-bx1，
∴ax2-bx2＞ax1-bx1＞0，∴
＞1．
∵函数y=lgx在定义域上是增函数，
∴f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在（0，+∞）是增函数．
（3）由（2）知，函数f（x）在（0，+∞）是增函数，
∴f（x）在（1，+∞）是增函数，即有f（x）＞f（1），
要使f（x）＞0恒成立，必须函数的最小值f（1）≥0，
即lg（a-b）≥0=lg1，则a-b≥1．
| a |
| b |
∵
| a |
| b |
（2）设x2＞x1＞0，∵a＞1＞b＞0，
∴ax2＞ax1，bx1＞bx2，则-bx2＞-bx1，
∴ax2-bx2＞ax1-bx1＞0，∴
| ax2-bx2 |
| ax1-bx1 |
∵函数y=lgx在定义域上是增函数，
∴f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在（0，+∞）是增函数．
（3）由（2）知，函数f（x）在（0，+∞）是增函数，
∴f（x）在（1，+∞）是增函数，即有f（x）＞f（1），
要使f（x）＞0恒成立，必须函数的最小值f（1）≥0，
即lg（a-b）≥0=lg1，则a-b≥1．
点评：本题是关于对数型复合函数的综合题，根据真数大于零求函数的定义域，判断函数的单调性即比较真数的大小，对于恒成立问题，就是由函数的单调性求出在区间上的最值．
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