Question

已知函数f（x）=lg[（a²-1）x²+（a+1）x+1]
（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为f（x）的定义域为R，所以对数的真数一定大于0恒成立，讨论二次项系数为0不成立，系数不为0时，得到系数大于0且根的判别式小于0求出a的范围即可；
（2）因为函数值域为R，讨论二次项系数为0时，不成立，系数不为0时，让系数大于0且根的判别式大于等于0求出a的范围即可．

解答：解：（1）f（x）的定义域为R∴（a²-1）x²+（a+1）x+1＞0恒成立
当a²-1=0时，得a=-1，a=1不成立
当a²-1≠0时，

a2-1＞0 △=(a+1)2-4(a2-1)＜0

解得a＞

5

3

或a＜-1
综上得a＞

5

3

或a≤-1
（2）当a²-1=0时，得a=1，a=-1不成立
当a²-1≠0时，

a2-1＞0 △=(a+1)2-4(a2-1)≥0

解得1＜a≤

5

3

综上得1≤a≤

5

3

点评：考查学生理解对数函数定义域和值域的能力，以及理解函数恒成立条件的能力．