题目内容

若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）恰好平分圆x²+y²+2x-4y+1=0的面积，则 $数学公式$ 的最小值

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
2
D.
4

D
分析：根据题意，直线2ax-by+2=0经过已知圆的圆心，可得a+b=1，由此代换得： $\text{[math]}$ =（a+b）（ $\text{[math]}$ ）=2+（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），再结合基本不等式求最值，可得 $\text{[math]}$ 的最小值．
解答：∵直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）恰好平分圆x²+y²+2x-4y+1=0的面积，
∴圆x²+y²+2x-4y+1=0的圆心（-1，2）在直线上，可得-2a-2b+2=0，即a+b=1
因此， $\text{[math]}$ =（a+b）（ $\text{[math]}$ ）=2+（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
∵a＞0，b＞0，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ =2，当且仅当a=b=1时等号成立
由此可得 $\text{[math]}$ 的最小值为2+2=4
故答案为：D
点评：本题给出直线平分圆面积，求与之有关的一个最小值．着重考查了利用基本不等式求最值和直线与圆位置关系等知识，属于中档题．