Question

已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，S₁₀＞0，且S₁₁=0，若S_n≤S_K对n∈N⁺恒成立，则正整数k构成的集合为

 

．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件知

10a1+45d＞0 11a1+55d=0

，所以d＜0，a₆=0，由此能求出正整数K构成的集合．

解答： 解：∵S_n是等差数列{a_n}的前n项和，S₁₀＞0，且S₁₁=0，
∴

10a1+45d＞0 11a1+55d=0

，即

a1+5d=0 a1+ 9d 2 ＞0

，
∴d＜0，a₆=a₁+5d=0，
∴a₁到a₅都是正数，a₆是0，以后各项全是负数．
∵S_n≤S_k对n∈N⁺恒成立，∴k=5，或k=6．
∴正整数k构成的集合为{5，6}．

点评：本题以数列为载体考查集合的求法，是中档题，解题时要注意等差数列的性质的灵活运用．