Question

14．若点O为△ABC外接圆的圆心，⊙O的半径r=2.5，M为△ABC的垂心，弦AB=3，则$\overrightarrow{MO}•\overrightarrow{BC}$的最大值为3．

Answer 1

分析 建立空间坐标系，根据三角形外心和垂心的性质，结合数量积的运算即可得到结论．

解答 解：建立以O为圆心，AB的中垂线所在的直线为y轴的直角坐标系如图，
∵弦AB=3，⊙O的半径r=2.5，
∴AD=$\frac{3}{2}$，OD=$\sqrt{O{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}=2$，
即A（$\frac{3}{2}$，2），B（-$\frac{3}{2}$，2），
则$\overrightarrow{MO}•\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AO}$）•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$，
∵M是垂心，∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
即$\overrightarrow{MO}•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$，
设C（$\frac{5}{2}$cosα，$\frac{5}{2}$sinα），
则$\overrightarrow{AO}$=（-$\frac{3}{2}$，-2），$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{5}{2}$cosα+$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$sinα-2），
则$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{3}{2}$，-2）•（$\frac{5}{2}$cosα+$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$sinα-2）
=-$\frac{3}{2}$×（$\frac{5}{2}$cosα+$\frac{3}{2}$）-2×（$\frac{5}{2}$sinα-2）
=-$\frac{15}{4}$cosα-5sinα+$\frac{7}{4}$
=$-\frac{5}{4}$sin（α+φ）+$\frac{7}{4}$，其中φ为参数，
则当sin（α+φ）=-1，$-\frac{5}{4}$sin（α+φ）+$\frac{7}{4}$取得最大值$\frac{5}{4}$+$\frac{7}{4}$=3，
故答案为：3

点评 本题主要考查数量积的应用，根据条件建立直角坐标系，利用数量积的运算是解决本题的关键．