题目内容
19．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点D在边BC上，椭圆G以A，D为焦点，且经过B，C，现以线段AD所在直线为x轴，线段AD的中点O为坐标原点建立直角坐标系．（1）求椭圆G的方程；
（2）Q（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，1）为椭圆G内的一定点，点P是椭圆上的一动点，求PQ+PD的最值；
（3）设椭圆G分别与x，y正半轴交于M，N两点，且y=kx（k＞0）与椭圆G相交于E、F两点，求四边形MENF面积的最大值．
分析 （1）运用椭圆的定义，可得4a=12，解得a=3，再由定义可得CD=2，运用勾股定理可得AD，结合椭圆的a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（2）运用椭圆的定义和三角形的三边关系，即可得到最值；
（3）联立直线y=kx和椭圆方程，解得E，F的坐标，再由三角形的面积公式可得四边形MENF面积为S=$\frac{1}{2}$|ON|•|xE-xF|+$\frac{1}{2}$|OM|•|yE-yF|，代入化简整理，再由基本不等式即可得到最大值．
解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
即有AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
由椭圆的定义可得AB+BC+AC=4a=12，
解得a=3，即有CD=2a-4=2，
由勾股定理可得AD=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
即有c=$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）由（1）可得A（-$\sqrt{5}$，0），D（$\sqrt{5}$，0），
由椭圆定义可得PQ+PD=PQ+6-PA=6-（PA-PQ），
由|PA-PQ|≤|AQ|=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{5}}{2}）^{2}+1}$=$\frac{7}{2}$，
即有-$\frac{7}{2}$≤PA-PQ≤$\frac{7}{2}$，当且仅当A，P，Q三点共线，等号成立．
即有PQ+PD的最小值为6-$\frac{7}{2}$=$\frac{5}{2}$，最大值为6+$\frac{7}{2}$=$\frac{19}{2}$；
（3）由y=kx代入椭圆方程可得（4+9k2）x2=36，
解得x=±$\frac{6}{\sqrt{4+9{k}^{2}}}$，y=±$\frac{6k}{\sqrt{4+9{k}^{2}}}$，
可设E（$\frac{6}{\sqrt{4+9{k}^{2}}}$，$\frac{6k}{\sqrt{4+9{k}^{2}}}$），F（-$\frac{6}{\sqrt{4+9{k}^{2}}}$，-$\frac{6k}{\sqrt{4+9{k}^{2}}}$），
又M（3，0），N（0，2），
四边形MENF面积为S=$\frac{1}{2}$|ON|•|xE-xF|+$\frac{1}{2}$|OM|•|yE-yF|
=$\frac{12}{\sqrt{4+9{k}^{2}}}$+$\frac{3}{2}$•$\frac{12k}{\sqrt{4+9{k}^{2}}}$=$\frac{6（2+3k）}{\sqrt{4+9{k}^{2}}}$=6$\sqrt{1+\frac{12}{9k+\frac{4}{k}}}$
≤6$\sqrt{1+\frac{12}{2\sqrt{36}}}$=6$\sqrt{2}$，
当且仅当9k=$\frac{4}{k}$即k=$\frac{2}{3}$时，取得最大值．
则有当k=$\frac{2}{3}$时，四边形MENF面积的最大值为4$\sqrt{2}$．
点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义和方程的运用，联立直线方程求交点，同时考查三角形的面积和基本不等式的运用，注意公式的灵活应用，属于中档题．
巧学巧练系列答案| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{1}{4}$ | C． | $\frac{1}{6}$ | D． | $\frac{1}{8}$ |
| A． | -$\frac{2π}{3}$ | B． | -$\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{2π}{3}$ |
| A． | x=$\frac{1}{4}$，y=$\frac{3}{4}$ | B． | x=$\frac{1}{3}$，y=$\frac{2}{3}$ | C． | x=$\frac{3}{4}$，y=$\frac{1}{4}$ | D． | x=$\frac{2}{3}$，y=$\frac{1}{3}$ |