题目内容

已知曲线C：的横坐标分别为1和，且a1=5，数列{xn}满足xn+1 = tf (xn – 1) + 1（t > 0且）．设区间，当时，曲线C上存在点使得xn的值与直线AAn的斜率之半相等．

证明：是等比数列；

当对一切恒成立时，求t的取值范围；

记数列{an}的前n项和为Sn，当时，试比较Sn与n + 7的大小，并证明你的结论．

（1）见解析

（2）0<t<

（3）对任意的


解析:

(1) ∵由已知得  ∴

由

∴即

∴是首项为2+1为首项，公比为2的等比数列.    4分

        (2) 由(1)得=（2+1）·2n-1，∴

从而an=2xn－1=1+，由Dn+1Dn，得an+1<an，即. 

∴0<2t<1，即0<t< 9分

        (3) 当时，       

∴

不难证明：当n≤3时，2n-1≤n+1；当n≥4时，2n-1>n+1.  

∴当n≤3时， 

当n≥4时，

 

综上所述，对任意的    13分

练习册系列答案
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已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为kn=-
1
xn+2
的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1），点列An（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{xn}，其中x1=
11
7
．
（1）求xn与xn+1的关系式；
（2）求证：{
1
xn-2
+
1
3
}是等比数列；
（3）求证：（-1）x1+（-1）2x2+（-1）3x3+…+（-1）nxn＜1（n∈N，n≥1）．
（选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程是：
x=-
5
+
2
2
t
y=
5
+
2
2
t
（t为参数）．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程，直线l的普通方程；
（Ⅱ）将曲线C横坐标缩短为原来的
1
2
，再向左平移1个单位，得到曲线曲线C1，求曲线C1上的点到直线l距离的最小值．
（2012•河西区二模）已知曲线C：y=x2（x＞0），过C上的点A1（1，1）作曲线C的切线l1交x轴于点B1，再过点B1作y轴的平行线交曲线C于点A2，再过点A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2，再过点B2作y轴的平行线交曲线C于点A3，…，依次作下去，记点An的横坐标为an（n∈N*）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求证：anSn≤1；
（3）求证：
n
i=1
1
aiSi
≤
4n-1
3
．

     (13分) 已知曲线C：的横坐标分别为1和，且a1=5，数列{xn}满足xn+1 = tf (xn – 1) + 1（t > 0且）．设区间，当时，曲线C上存在点使得xn的值与直线AAn的斜率之半相等．

(1)     证明：是等比数列；

(2)     当对一切恒成立时，求t的取值范围；

(3)     记数列{an}的前n项和为Sn，当时，试比较Sn与n + 7的大小，并证明你的结论．

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