Question

已知曲线C：xy=1，过C上一点A_n（x_n，y_n）作一斜率为kn=-

1

xn+2

的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），点列A_n（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{x_n}，其中x1=

11

7

．
（1）求x_n与x_n+1的关系式；
（2）求证：{

1

xn-2

+

1

3

}是等比数列；
（3）求证：（-1）x₁+（-1）²x₂+（-1）³x₃+…+（-1）ⁿx_n＜1（n∈N，n≥1）．

Answer 1

分析：（1）根据点A_n的坐标表示出斜率k_n，代入kn=-

1

xn+2

求得x_nx_n+1=x_n+2整理后即可求得x_n与x_n+1的关系式；
（2））记an=

1

xn-2

+

1

3

，把（1）中求得x_n与x_n+1的关系式代入可求得a_n+1=-2a_n推断数列{a_n}即：{

1

xn-2

+

1

3

}是等比数列；
（3）由（2）可求得

1

xn-2

+

1

3

的表达式，进而求得x_n，进而看n为偶数时，求得（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n=

2n-1+2n

(2n-1+ 1 3 )(2n- 1 3 )

＜

1

2n-1

+

1

2n

，进而可证（-1）x₁+（-1）²x₂+（-1）³x₃+…+（-1）ⁿx_n＜1；再看n为奇数时，
前n-1项为偶数项，则可证出：（-1）x₁+（-1）²x₂++（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n＜-1+

1

2n+ 1 3

＜1，最后综合原式可证．

解答：解：（1）过C：y=

1

x

上一点A_n（x_n，y_n）作斜率为k_n的直线交C于另一点A_n+1，
则kn=

yn+1-yn

xn+1-xn

=

1 xn+1 - 1 xn

xn+1-xn

=-

1

xn+1•xn

=-

1

xn+2

，
于是有：x_nx_n+1=x_n+2
即：xn+1=1+

2

xn

．
（2）记an=

1

xn-2

+

1

3

，
则an+1=

1

xn+1-2

+

1

3

=

1

xn+2 xn -2

+

1

3

=-2(

1

xn-2

+

1

3

)=-2an，
因为x1=

11

7

 ， 而a1=

1

x1-2

+

1

3

=-2≠0，
因此数列{

1

xn-2

+

1

3

}是等比数列．
（3）由（2）知：an=(-2)n ， 则xn=2+

1

(-2)n- 1 3

，(-1)nxn=(-1)n•2+

1

2n-(-1)n• 1 3

．
①当n为偶数时有：（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n=
=

1

2n-1+ 1 3

+

1

2n- 1 3

=

2n-1+2n

(2n-1+ 1 3 )(2n- 1 3 )

＜

2n-1+2n

2n-1•2n

＜

1

2n-1

+

1

2n

，
于是在n为偶数时有：(-1)x1+(-1)2x2++(-1)nxn＜

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

++

1

2n

＜1．
1在n为奇数时，前n-1项为偶数项，
于是有：（-1）x₁+（-1）²x₂++（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n＜1+(-1)nxn=1-xn=1-(2+

1

(-2)n- 1 3

)=-1+

1

2n+ 1 3

＜1．
综合①②可知原不等式得证．

点评：本题主要考查了数列的递推式．考查了学生推理能力和基本的运算能力．