Question

【题目】已知函数，，．

（1）若存在极小值，求实数a的取值范围；

（2）若，求证：．

Answer 1

【答案】（1）

（2）证明见解析

【解析】

（1）先求函数的导函数，通过分类讨论导数的符号情况，得出极值情况，从而可求；

（2）先把目标不等式等价转化，构造新函数，求导，判定单调性，得到最值，然后可证.

解：（1）由题意得，令，

则．

∴当时，得，此时单调递减，且，，

当时，得，此时单调递增，且，，

∴．

①当，即时，，于是在上是增函数，

从而在上无极值．

②当，即时，存在，使得，

且当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，

故是在上的极小值点．

综上，．

（2）要证）即等价于证明．

①当时，得，，

显然成立；

②当时，则，

结合已知，可得．

于是问题转化为证明，

即证明．

令，，

则，

令，

则，

易得在上单调递增．

∵，，

∴存在使得，即．

∴在区间上单调递减，

在区间上单调递增，

又，，

∴当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

∴，

故，问题得证．