Question

如图α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A₁，点B在l上的射影为B₁，已知AB＝2，AA₁＝1，BB₁＝，求：

(1)直线AB分别与平面α，β所成角的大小；

(2)二面角A₁－AB－B₁的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(1)如图，连接A1B、AB1． 　　∵α⊥β，α∩β＝l，AA1⊥l，BB1⊥l，∴AA1⊥β，BB1⊥α，则∠BAB1、∠ABA1分别是AB与α和β所成的角． 　　Rt△BB1A中，BB1＝，AB＝2． 　　∴sin∠BAB1＝＝，∴∠BAB1＝45°． 　　Rt△AA1B中AA1＝1，AB＝2． 　　∴sin∠ABA1＝＝，∴∠ABA1＝30°． 　　故AB与平面α，β所成的角分别是45°，30°． 　　(2)∵BB1⊥α， 　　∴平面ABB1⊥α，在平面α内过A1，作A1E⊥AB1，交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B．过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB． 　　∴∠A1FE就是所求二面角的平面角． 　　在Rt△ABB1中，∠BAB1＝45°， 　　∴AB1＝B1B＝． 　　∴Rt△AA1B1中，AA1＝A1B1＝1． 　　∴A1E＝AB1＝． 　　在Rt△AA1B中，A1B＝＝． 　　由AA1·A1B＝A1F·AB得 　　A1F＝＝， 　　∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE＝． 　　∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin． 　　解法二：(1)同解法一． 　　(2)如下图，建立坐标系，则A1(0，0，0)，A(0，0，1)，B1(0，1，0)，B(，1，0)．在AB上取一点F(x，y，z)，则存在t∈R，使得＝t． 　　即(x，y，z－1)＝t(，1，－1)，∴点F的坐标为(，t，1，1－t)． 　　要使⊥，须·＝0， 　　即(，t，1－t)·(，1，－1)＝0， 　　2t＋t－(1－t)＝0，解得t＝，∴点F的坐标为()． 　　∴＝(，) 　　设E为AB1的中点，则点E的坐标为(0，，)． 　　∴＝(，)． 　　又·＝(，－，)·(，1，－1)＝－－＝0， 　　∴⊥． 　　∴∠A1FE为所求二面角的平面角． 　　又cos∠A1FE＝＝ 　　 　　∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos．