Question

6．函数f（x）=x²-2lnx，g（x）=2ax-ax²，当x∈（1，+∞）时，f（x）＞g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 问题转化为lnx＜x（$\frac{1+a}{2}$x-a）在x∈（1，+∞）恒成立，令p（x）=lnx，q（x）=x（$\frac{1+a}{2}$x-a），结合函数图象求出a的范围即可．

解答 解：当x∈（1，+∞）时，f（x）＞g（x）恒成立，
即lnx＜x（$\frac{1+a}{2}$x-a）在x∈（1，+∞）恒成立，
令p（x）=lnx，q（x）=x（$\frac{1+a}{2}$x-a），
画出函数p（x），q（x）图象，如图示：
，
结合图象q（x）开口向上，故$\frac{a+1}{2}$＞0，解得：a＞-1，
且x=$\frac{2a}{1+a}$＜1，解得：a＜1，
故-1＜a＜1．

点评 本题考查了二次函数、对数函数的性质，考查数形结合思想，是一道中档题．