Question

定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，当x∈(0,1)时有f(x)＝.

(1)求f(x)在(－1,1)上的解析式；

(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性并用定义证明．

Answer 1

解析：　(1)设x∈(－1,0)，则－x∈(0,1)，

∵f(－x)＝－f(x)，且x∈(0,1)时，f(x)＝，

∴x∈(－1,0)时，

有f(x)＝－f(－x)＝－＝－.

在f(－x)＝－f(x)中，令x＝0，

f(－0)＝－f(0)⇒f(0)＝0.

综上，当x∈(－1,1)时，有：

f(x)＝

(2)f(x)在(0,1)上是减函数．

证明：设0<x₁<x₂<1，

则x₂－x₁>0,0<x₁＋x₂<2，

∴2x₁＋x₂>1,2x₂>2x₁，

∴f(x₂)－f(x₁)＝－

＝<0，

∴f(x₂)<f(x₁)，∴f(x)在(0,1)上是减函数．