Question

（2012•包头一模）设函数f（x）=ln（x+1）+ae^-x-a，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，证明f（x）在（0，+∞）是增函数；
（Ⅱ）若x∈[0，+∞），f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，当a=1时，可得f′(x)=

ex-(1+x)

ex(1+x)

，构造西红柿g（x）=e^x-1-x，确定g（x）在（0，+∞）为增函数，从而可得x∈（0，+∞）时，g（x）＞g（0）=0，由此可得x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，得证；
（2）由于函数的最值不好确定，故进行适当的放缩，考虑f′(x)≥

1+x-a(1+x)

ex(1+x)

=

(1-a)(1+x)

ex(1+x)

，从而当1-a≥0，即a≤1时，对?x∈[0，+∞），f（x）≥f（0）=0；当a＞1时，可得x∈(0，ln(a+

a2-a

))时，f（x）＜f（0）=0，从而可得a的取值范围．

解答：解：（1）f′(x)=

1

1+x

-

a

ex

=

ex-a(1+x)

ex(1+x)

，
当a=1时，f′(x)=

ex-(1+x)

ex(1+x)

，---------（2分）
令g（x）=e^x-1-x，则g′（x）=e^x-1，
当x∈（0，+∞）时，g′（x）=e^x-1＞0，所以g（x）在（0，+∞）为增函数，
因此x∈（0，+∞）时，g（x）＞g（0）=0，所以当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，
则f（x）在（0，+∞）是增函数．---------（6分）
（2）由f′(x)=

ex-a(1+x)

ex(1+x)

，
由（1）知，e^x≥1+x，当且仅当x=0等号成立．
故f′(x)≥

1+x-a(1+x)

ex(1+x)

=

(1-a)(1+x)

ex(1+x)

，
从而当1-a≥0，即a≤1时，对x∈[0，+∞），f′（x）≥0，
于是对?x∈[0，+∞），f（x）≥f（0）=0．
由e^x＞1+x（x≠0），得e^-x＞1-x（x≠0），
从而当a＞1时，

f′(x)＜ ex-a+ae-x-a ex(1+x) = e2x-2aex+a e2x(1+x)

=

(ex-a+ a2-a )(ex-a- a2-a ) e2x(1+x)

故当x∈(0，ln(a+

a2-a

))时，f′（x）＜0，
于是当x∈(0，ln(a+

a2-a

))时，f（x）＜f（0）=0，
综上，a的取值范围是（-∞，1]．---------（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，正确求导是关键．