Question

已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左右焦点分别为F₁(－c,0)，

F₂(c,0)．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F₁F₂为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．

Answer 1

解　(1)由题设知解得a＝2，b＝，c＝1.

∴椭圆的方程为＋＝1.

(2)由题设知，以F₁F₂为直径的圆的方程为x²＋y²＝1，

∴圆心到直线l的距离d＝.

由d<1得|m|<.(*)

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

由得x²－mx＋m²－3＝0.

由根与系数的关系可得x₁＋x₂＝m，x₁x₂＝m²－3.

∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.