Question

已知

a

=（3，4），

b

=（4，3），求x，y的值使（x

a

+y

b

）⊥

a

，且|x

a

+y

b

|=1．

Answer 1

分析：由（x

a

+y

b

）⊥

a

，可得（x

a

+y

b

）•

a

=0，即 25x+24y=0 ①．再由|x

a

+y

b

|=1，可得 x（25x+24y）+24xy+25y²=1 ②．由①②可求得x，y的值．

解答：解：∵已知

a

=（3，4），

b

=（4，3），∴（x

a

+y

b

）=（3x+4y，4x+3y），
又（x

a

+y

b

）⊥

a

，∴（x

a

+y

b

）•

a

=3（3x+4y ）+4（4x+3y）=0，即 25x+24y=0  ①．
再由|x

a

+y

b

|=1，可得 （3x+4y）²+（4x+3y）²=1，
整理得 25x²+48xy+25y²=1，即 x（25x+24y）+24xy+25y²=1 ②．
由①②有 24xy+25y²=1 ③，将①变形代入③可得：y=±

5

7

，
再代回①得：

x= 24 35 y=- 5 7

 和

x=- 24 35 y= 5 7

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，向量的模的定义，属于中档题．