Question

如图，圆O与离心率为的椭圆T：（a＞b＞0）相切于点M（0，1）．
（1）求椭圆T与圆O的方程；
（2）过点M引两条互相垂直的两直线l₁、l₂与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）．
①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d₁、d₂，求的最大值；
②若，求l₁与l₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可知圆的半径等于1，椭圆的短半轴等于1，根据e=，结合a²=b²+c²求出椭圆的长半轴，则椭圆方程和圆的方程可求；
（2）①因为两直线l₁、l₂相互垂直，所以点P到两直线的距离d₁、d₂的平方和可转化为P点到M点距离的平方，利用点P在椭圆上把要求的式子化为含P点纵坐标的函数，利用二次函数可求最大值；
②设出直线l₁的方程，分别和圆的方程及椭圆方程联立A，C点的坐标，利用置换k的方法求出B，D点的坐标，分别写出向量的坐标，代入若中求出k的值，则l₁与l₂的方程的方程可求．
解答：解：（1）由题意知：，b=1．
又a²=b²+c²，所以a²=c²+1，
联立，解得a=2，c=
所以椭圆C的方程为．圆O的方程x²+y²=1；
（2）①设P（x，y）因为l₁⊥l₂，则，
因为，所以=，
因为-1≤y≤1，所以当时，取得最大值为，此时点．
②设l₁的方程为y=kx+1，
由，得：（k²+1）x²+2kx=0，由x_A≠0，所以，
代入y=kx+1得：．
所以．
由，得（4k²+1）x²+8kx=0，由x_C≠0，所以，
代入y=kx+1得：．
所以．
把A，C中的k置换成可得，
所以，
，
由，
得
=，
整理得：，即3k⁴-4k²-4=0，解得．
所以l₁的方程为，l₂的方程为
或l₁的方程为，l₂的方程为．
点评：本题考查了圆的标准方程，椭圆的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数学转化思想和方程思想方法，训练了学生的计算能力，属难题．