Question

（2013•东莞二模）如图，圆O与离心率为

3

2

的椭圆T：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相切于点M（0，1）．
（1）求椭圆T与圆O的方程；
（2）过点M引两条互相垂直的两直线l₁、l₂与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）．
①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d₁、d₂，求

d

2 1

+

d

2 2

的最大值；
②若3

MA

•

MC

=4

MB

•

MD

，求l₁与l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意可知圆的半径等于1，椭圆的短半轴等于1，根据e=

c

a

=

3

2

，结合a²=b²+c²求出椭圆的长半轴，则椭圆方程和圆的方程可求；
（2）①因为两直线l₁、l₂相互垂直，所以点P到两直线的距离d₁、d₂的平方和可转化为P点到M点距离的平方，利用点P在椭圆上把要求的式子化为含P点纵坐标的函数，利用二次函数可求最大值；
②设出直线l₁的方程，分别和圆的方程及椭圆方程联立A，C点的坐标，利用置换k的方法求出B，D点的坐标，分别写出向量

MA

，

MC

，

MB

，

MD

的坐标，代入若3

MA

•

MC

=4

MB

•

MD

中求出k的值，则l₁与l₂的方程的方程可求．

解答：解：（1）由题意知：

c

a

=

3

2

，b=1．
又a²=b²+c²，所以a²=c²+1，
联立

c a = 3 2 a2=c2+1

，解得a=2，c=

3

所以椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．圆O的方程x²+y²=1；
（2）①设P（x₀，y₀）因为l₁⊥l₂，则d12+d22=PM2=x02+(y0-1)2，
因为

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，所以d12+d22=4-4y02+(y0-1)2=-3(y0+

1

3

)2+

16

3

，
因为-1≤y₀≤1，所以当y0=

1

3

时，

d

2 1

+

d

2 2

取得最大值为

16

3

，此时点P(±

4 2

3

，

1

3

)．
②设l₁的方程为y=kx+1，
由

y=kx+1 x2+y2=1

，得：（k²+1）x²+2kx=0，由x_A≠0，所以xA=-

2k

k2+1

，
代入y=kx+1得：yA=

1-k2

1+k2

．
所以A(-

2k

k2+1

，

1-k2

1+k2

)．
由

y=kx+1 x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kx=0，由x_C≠0，所以xC=-

8k

4k2+1

，
代入y=kx+1得：yC=

1-4k2

1+4k2

．
所以C(-

8k

4k2+1

，

1-4k2

1+4k2

)．
把A，C中的k置换成-

1

k

可得B(

2k

k2+1

，

k2-1

k2+1

)，D(

8k

k2+4

，

k2-4

k2+4

)
所以

MA

=(-

2k

k2+1

，

-2k2

1+k2

)，

MC

=(

-8k

4k2+1

，

-8k2

4k2+1

)

MB

=(

2k

k2+1

，

-2

k2+1

)，

MD

=(

8k

k2+4

，

-8

k2+4

)
由3

MA•

MC

=4

MB

•

MD

，
得3[(-

2k

k2+1

)(-

8k

4k2+1

)+(-

2k2

1+k2

)(-

8k2

1+4k2

)]
=4[

2k

k2+1

•

8k

k2+4

+(-

2

k2+1

)(-

8

k2+4

)]，
整理得：

3k2

1+4k2

=

4

k2+4

，即3k⁴-4k²-4=0，解得k=±

2

．
所以l₁的方程为y=

2

x+1，l₂的方程为y=-

2

2

x+1
或l₁的方程为y=-

2

x+1，l₂的方程为y=

2

2

x+1．

点评：本题考查了圆的标准方程，椭圆的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数学转化思想和方程思想方法，训练了学生的计算能力，属难题．