Question

（2012•湖北模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosB=

3

4

．
（Ⅰ）求sin2B+cos2

A+C

2

的值；
（Ⅱ）若b=

3

，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过cosB=

3

4

求出sinB=

7

4

，利用二倍角以及三角形的内角和化简sin2B+cos2

A+C

2

，即可求出它的值；
（Ⅱ）利用b=

3

，结合余弦定理，求出a，c的关系，通过基本不等式求出a，c，然后求出三角形的面积最大值．

解答：（本小题满分13分）
解：（I）因为cosB=

3

4

，所以sinB=

7

4

．…（1分）
又sin2B+cos2

A+C

2

=2sinBcosB+cos2

π-B

2

=2sinBcosB+

1

2

(1-cosB)
=2×

7

4

×

3

4

+

1

8

=

1+3 7

8

．…（6分）
（II）由已知得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3

4

，…（7分）
又因为b=

3

，所以a2+c2-3=

3

2

ac．…（8分）
又因为a2+c2=

3

2

ac+3≥2ac，
所以ac≤6，当且仅当a=c=

6

时，ac取得最大值．…（11分）
此时S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×6×

7

4

=

3 7

4

．
所以△ABC的面积的最大值为

3 7

4

．…（13分）

点评：本题考查二倍角公式，余弦定理，基本不等式的应用，考查计算能力．