Question

（14分）已知函数，且其导函数的图像过原点．

（Ⅰ）当时，求函数的图像在处的切线方程；

（Ⅱ）若存在，使得，求的最大值；

（Ⅲ）当时，求函数的零点个数．

Answer 1

解析: ,

由得  ,.---------------------2分

 (Ⅰ) 当时, ,，,

所以函数的图像在处的切线方程为,即--------------------4分

 (Ⅱ) 存在,使得,

  ，，

当且仅当时，

所以的最大值为.                                         -----------------9分

		极大值		极小值

 (Ⅲ) 当时，的变化情况如下表：

-

 

 

 

 

---11分

 

的极大值，的极小值

又，.

所以函数在区间内各有一个零点，

故函数共有三个零点。--------------------14分

注：①证明的极小值也可这样进行:

设，则

当时, ,当时, ,函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,故函数在区间上的最大值为,从而的极小值.

②证明函数共有三个零点。也可这样进行:

的极大值，的极小值,

当 无限减小时，无限趋于 当 无限增大时，无限趋于

    故函数在区间内各有一个零点，

故函数共有三个零点。--------------------14分