Question

已知函数，且其导函数的图像过原点．

(1)当a＝1时，求函数f(x)的图像在x＝3处的切线方程；

(2)若存在x＜0，使得，求a的最大值；

(3)当a＞0时，求函数f(x)的零点个数．

Answer 1

答案：
解析：

解：， 　　由得，．　2分 　　(1)当时，，，， 　　所以函数的图像在处的切线方程为，即　4分 　　(2)存在，使得， 　　，， 　　当且仅当时，所以的最大值为．　9分 　　(3)当时，的变化情况如下表：　11分 　　的极大值， 　　的极小值 　　又，． 　　所以函数在区间内各有一个零点， 　　故函数共有三个零点．　14分 　　注：①证明的极小值也可这样进行： 　　设， 　　则 　　当时，，当时，， 　　函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 　　故函数在区间上的最大值为， 　　从而的极小值． 　　②证明函数共有三个零点．也可这样进行：的极大值， 　　的极小值， 　　当无限减小时，无限趋于 当 无限增大时，无限趋于 　　故函数在区间内各有一个零点，故函数共有三个零点．