Question

已知f（x）=2x-x²，g（x）=log_ax（a＞0且a≠1），
（Ⅰ）过P（0，2）作曲线y=f（x）的切线，求切线方程；
（Ⅱ）设h（x）=f（x）-g（x）在定义域上为减函数，且其导函数y=h′（x）存在零点，求实数a的值。

Answer 1

解：（Ⅰ）f（0）=0，
∴P（0，2）不在曲线y=f（x）上，
设切点为Q（x₀，y₀），
∵f′（x）=2-x，
∴k=f′（x₀）=2-x₀，且y₀=f（x₀）=，
∴切线，即，
∵（0，2）在切线上，代入可得x₀=±2，
∴切线为y=2或y=4x+2；
（Ⅱ）h（x）在（0，+∞）递减，
∴h′（x）=在x＞0时恒成立，
∵x＞0，
∴在x＞0恒成立，
x＞0时，2x-x²∈（-∞，1]，
∴，∴0＜lna≤1，①
又∵h′（x）=存在零点，即方程lna·x²-21na·x+1=0有正根，
∴Δ=4ln²a-4lna≥0，
∴lna≥1或lna＜0，②
由①②知lna=1，
∴a=e。