Question

【题目】已知椭圆： 的左、右焦点分别为，过任作一条与两条坐标轴都不垂直的直线，与椭圆交于两点，且的周长为8，当直线的斜率为时， 与轴垂直.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）在轴上是否存在定点，总能使平分？说明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】试题分析：

(1)利用题意求得， .所以椭圆的方程为.

(2)设出直线方程，联立直线与椭圆的方程讨论可得为所求.

试题解析：

（Ⅰ）因为，即，

有，所以，即，

当直线的斜率为时， 与轴垂直，

所以，

由，且，

解得，即，

又，故，

所以，由，得.

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ，设直线的方程为， 两点的坐标分别为，

联立，消去，整理得，

所以，

设，由已知平分，得，

所以，即，

即，

所以，

即，所以，即，

所以为所求.