Question

已知等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，b₁=1，b₂S₂=16，b₂+S₃=17．
（1）求{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求证：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

对一切n∈N^*都成立．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（!）设{a_n}的公差为d（d＞0），{b_n}的公比为q，利用等差数列的求和公式，及等比数列的通项公式，建立方程组，从而可求数列{a_n}与{b_n}的通项公式．
（2）确定{S_n}的通项，利用裂项法求和，即可证明结论．

解答： （1）解：设{a_n}的公差为d（d＞0），{b_n}的公比为q，
则

b2S2=(6+d)q=16 b2+S3=(9+3d)+q=17

解得

d=2 q=2

或

d=- 16 3 q=24

(舍)
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，bn=2n-1
（2）证明：S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3

4

-

1

2

（

1

n+1

+

1

n+2

）＜

3

4

．

点评：本题考查数列的通项与求和，解题的关键是利用基本量法确定数列的公差与公比．