Question

21.在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.

（1）求向量的坐标；

（2）求圆x²－6x+y²+2y=0关于直线OB对称的圆的方程；

（3）是否存在实数a，使抛物线y=ax²－1上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求a的取值范围.

Answer 1

21.解：（1）设 ={u，v}，则由，即，

得，或.

因为=+={u+4，v－3}，

所以v－3>0，得v=8，故={6，8}.

 

（2）由={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程为：y=x.

由条件可知圆的标准方程为：（x－3）²+（y+1）²=10，

得圆心（3，－1），半径为.

设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x，y），则

，得，

故所求圆的方程为（x－1）²+（y－3）²=10.

 

（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）为抛物线上关于直线OB对称的两点，则

，得.

 

即x₁、x₂为方程x²+x+=0的两个相异实根，

 

于是由Δ=－4·>0，得a>.

 

故当a>时，抛物线y=ax²－1上总有关于直线OB对称的两点.