Question

在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，-3）为△OAB的直角顶点，若|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于0
（1）求向量

AB

的坐标；
（2）是否存在实数a，使得抛物线y=ax²-1上总有关于直线OB对称的两个点？若存在，求实数a的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）假设向量

AB

=(μ，υ)的值，根据|AB|=2|OA|、AB⊥OA得到方程组可解出向量

AB

的坐标．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）为抛物线上关于直线OB对称的两点，根据对称性找出x₁，y₁，x₂，y₂的关系，联立方程可解．

解答：解：（1）设

AB

=(μ，υ)，
则由

AB |=2 OA AB • OA =0

，得

μ2+υ2=100 4μ-3υ=0

解得

μ=6 υ=8

或

μ=-6 υ=-8

因为

OB

=

OA

+

AB

=(μ+4，υ-3)
所以υ-3＞0，υ=8
故

AB

=（6，8）；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）为
抛物线上关于直线OB对称的两点，
则

x1+x2 2 -2 y1+y2 2 =0 y1-y2 x2-x2 =-2

，又因为

y1=ax12-1 y2=ax22-1

可得

x1+x2=- 2 a x1x2= 5-2a 2a2

即x₁，x₂为方程x2+

2

a

x+

5-2a

2a2

=0的两个相异实根
于是，由△=

4

a2

-4

5-2a

2a2

＞0，可得a＞

3

2

故当a＞

3

2

时，
抛物线y=ax²-1上总有关于直线OB对称的两个点．

点评：本题主要考查向量的基本运算和对称点的问题．向量运算是高考必考题，注意运算法则的记忆．