题目内容

数列{}首项a1=1，前n项和与之间满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列{}的通项公式；
（3）设存在正数k，使对一切n∈N*都成立，求k的最大值．
（1）证明：∵n≥2时，=﹣﹣1
∴--1=
∴-1﹣=2·-1
∴（n≥2）
∴数列{|是以=1为首项，以2为公差的等差数列
（2）解：由（1）知=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，
∴=，
∴n≥2时，=﹣﹣1=﹣
∵a1=S1=1，
∴=．
（3）设F（n）=，
则=
∴F（n）在n∈N*上递增，要使F（n）≥k恒成立，
只需[F（n）]min≥k
∵[F（n）]min=F（1）=，
∴0＜k≤，kmax=
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8、对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N）．对自然数k，规定{△kan}为{an}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an=△（△k-1an）．
（1）已知数列{an}的通项公式an=n2+n（n∈N），，试判断{△an}，{△2an}是否为等差或等比数列，为什么？
（2）若数列{an}首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n（n∈N），求数列{an}的通项公式．
（3）（理）对（2）中数列{an}，是否存在等差数列{bn}，使得b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn=an对一切自然n∈N都成立？若存在，求数列{bn}的通项公式；若不存在，则请说明理由．
对于数列{an}，定义{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an，n∈N*；对k≥2，k∈N*，定义{△kan}为{an}的k阶差分数列，其中△kan=△k-1an+1-△k-1an．
（1）若数列{an}的通项公式为an=n2-6n，分别求出其一阶差分数列{△an}、二阶差分数列{△2an}的通项公式；
（2）若数列{an}首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n，求出数列{an}的通项公式an及前n项和Sn．
数列{an}首项a1=1，前n项和Sn满足等式2tSn-（2t+1）Sn-1=2t（常数t＞0，n=2，3，4…）
（1）求证：{an}为等比数列；
（2）设数列{an}的公比为f（t），作数列{bn}使b1=1，bn=f(
1bn-1+2
)-2（n=2，3，4…），求数列{bn}的通项公式．
（3）设cn=nbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
数列{an}首项a1=1，前n项和Sn与an之间满足an=
2
S
2
n
2Sn-1
(n≥2)．
（1）求证：数列{
1
Sn
}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设存在正数k，使(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)≥k
2n+1
对一切n∈N*都成立，求k的最大值．
（2012•桂林一模）对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an（n∈N*）．规定{△2an}为{an}的二阶差分数列，其中△2an=△an+1-△an．
（Ⅰ）已知数列{an}的通项公式an=n2+n(n∈N*)，试判断{△an}，{△2an}是否为等差或等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）若数列{an}首项a1=1，且满足△2an-△an+1+an=-2n(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．

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