Question

数列{a_n}首项a₁=1，前n项和S_n与a_n之间满足an=

2 S 2 n

2Sn-1

(n≥2)．
（1）求证：数列{

1

Sn

}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设存在正数k，使(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)≥k

2n+1

对一切n∈N^*都成立，求k的最大值．

Answer 1

分析：（1）由数列的性质对其进行变形整理出可以判断数列为等差数列的形式即可．
（2）由（1）先求出S_n，进而可求求数列{a_n}的通项公式；
（3）先构造函数F（n）判断其单调性，然后再由F（n）在n∈N^*上递增，要使F（n）≥k恒成立，只需[F（n）]_min≥k，即可得到结论．

解答：（1）证明：∵n≥2时，a_n=S_n-S_n-1（1分）
∴S_n-S_n-1=

2 S 2 n

2Sn-1

(n≥2)，
∴S_n-1-S_n=2S_nS_n-1（3分）
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2（n≥2），（5分）
∴数列{

1

Sn

|是以

1

S1

=1为首项，以2为公差的等差数列．（6分）
（2）解：由（1）知

1

Sn

=1+（n-1）×2=2n-1，
∴S_n=

1

2n-1

，
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-

2

(2n-1)(2n-3)

∵a₁=S₁=1，
∴a_n=

1，n=1 - 2 (2n-1)(2n-3) ，n≥2

．（10分）
（3）设F（n）=

(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)

2n+1

，
则

F(n+1)

F(n)

=

2n+2

2n+1 2n+3

=

4n2+8n+4

4n2+8n+3

＞1（12分）
∴F（n）在n∈N^*上递增，要使F（n）≥k恒成立，只需[F（n）]_min≥k
∵[F（n）]_min=F（1）=

2 3

3

，
∴0＜k≤

2 3

3

，k_max=

2 3

3

．（14分）

点评：本题考查等差数列通项与前n项和关系以及数列与不等式相结合的有关问题，（3）中的转化为函数来判断单调性都需要较高的知识组合能力及较高的观察能力．