Question

数列{a_n}首项a₁=1，前n项和S_n满足等式2tS_n-（2t+1）S_n-1=2t（常数t＞0，n=2，3，4…）
（1）求证：{a_n}为等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}使b1=1，bn=f(

1

bn-1+2

)-2（n=2，3，4…），求数列{b_n}的通项公式．
（3）设c_n=nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由2tS_n-（2t+1）S_n-1=2t，得2tS_n+1-（2t+1）S_n=2t，两式相减可得n≥2时的递推式，注意验证

a2

a1

是否适合；
（2）由（1）可知f（t），由题意可得数列{b_n}的递推式，根据递推式可判断其为等比数列，根据等比数列通项公式可得其通项；
（3）表示出c_n，然后利用错位相减法可求得T_n．

解答：（1）证明：由2tS_n-（2t+1）S_n-1=2t，得2tS_n+1-（2t+1）S_n=2t，
两式相减得2t（S_n+1-S_n）-（2t+1）（S_n-S_n-1）=0，
故n≥2时，2ta_n+1-（2t+1）a_n=0，
从而

an+1

an

=1+

1

2t

，
又2tS₂-（2t+1）S₁=2t，即2t（a₁+a₂）-（2t+1）=2t，而a₁=1．
从而a2=

2t+1

2t

，故

a2

a1

=1+

1

2t

，
∴对任意n∈N^*，

an+1

an

=1+

1

2t

为常数，即{a_n}为等比数列；
（2）解：f(t)=1+

1

2t

，bn=1+

1

2• 1 bn-1+2

-2=

1

2

bn-1，
又b₁=1．故{b_n}为等比数列，通项公式为bn=(

1

2

)n-1；
（3）解：Cn=n•(

1

2

)n-1，
Tn=1+2•

1

2

+3•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n-1，
两边同乘以

1

2

，得

1

2

Tn=

1

2

+2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n，
两式相减得

1

2

Tn=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n=2(1-

1

2n

)-

n

2n

，
∴Tn=4(1-

1

2n

)-

n

2n-1

=4-

2+n

2n-1

．

点评：本题考查等比数列的通项公式、错位相减法对数列求和，考查学生综合运用知识解决问题的能力．