题目内容

设常数 $数学公式$ ，则a=； $数学公式$ （a+a²+…aⁿ）=．

$\text{[math]}$ 1
分析：（1）利用二项展开式通项公式Tr+1=c₄^r（ax²）^4-r（ $\text{[math]}$ ）^r，整理后，令x的次数等于3，从而解得a，
（2）由a= $\text{[math]}$ ＜1，可知数列a，a²…aⁿ是递降等比数列，则 $\text{[math]}$ （a+a²+…+aⁿ）表示无穷递降等比数列的各项和，利用无穷递降等比数列的各项和公式，可得解．
解答：（1）由Tr+1=c₄^r（ax²）^4-r（ $\text{[math]}$ ）^r，整理得Tr+1=c₄^ra^4-rx^8-r，
r=2时，即c₄²a²= $\text{[math]}$ ，∴a= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
（2）由a= $\text{[math]}$ ，可知数列a，a²…aⁿ是递降等比数列，
则 $\text{[math]}$ （a+a²+…+aⁿ）表示无穷递降等比数列的各项和，
由无穷递降等比数列的各项和公式（ $\text{[math]}$ s_n=），
可知 $\text{[math]}$ （a+a²+…+aⁿ）= $\text{[math]}$ ═ $\text{[math]}$ =1．
故答案为：1．
点评：本题（1）主要考查二项式展开式特定项的系数的求法，需要熟记展开式的通项公式，即Tr+1=c_n^ra^n-rb^r．是高考的常见题型．
（2）主要考查等比数列求和公式及极限的运算，需要注意：当a的绝对值小于1时， $\text{[math]}$ aⁿ=0，要记住无穷递降等比数列各项和公式 $\text{[math]}$ s_n= $\text{[math]}$ ．在选择填空中可以加快速度．