题目内容

若函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x-m在[0，
π
2
]上有零点，则m的取值范围为（　　）
分析：由题意可得在[0，
π
2
]上，函数 y=2+
2
sin（2x+
π
4
）的图象与直线y=m 有交点，求出函数 y=2+
2
sin（2x+
π
4
）的值域，即可得到m的取值范围．
解答：解：∵y=（sinx+cosx）2+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=2+
2
sin（2x+
π
4
），函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x-m在[0，
π
2
]上有零点，
故在[0，
π
2
]上，函数 y=2+
2
sin（2x+
π
4
）的图象 与直线y=m 有交点．
由于 0≤x≤
π
2
，∴
π
4
≤2x+
π
4
≤
5π
4
，故当2x+
π
4
=
5π
4
 时，函数 y=2+
2
sin（2x+
π
4
）有最小值为2+
2
（-
2
2
）=1，
当-2x+
π
4
=
π
2
时，函数 y=2+
2
sin（2x+
π
4
）有最大值为2+
2
，
故 1≤m≤2+
2
，
故选A．
点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(x2，y-cx)，
n
=(1，x+b)，
m
∥
n
，（x，y，b，c∈R），且把其中x，y所满足的关系式记为y=f（x），若f′（x）为f（x）的导函数，F（x）=f（x）+af′（x）（a＞0），且F（x）是R上的奇函数．
（Ⅰ）求
b
a
和c的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[
a
2
，a2]上单调递减，求b的取值范围；
（Ⅲ）当a=2时，设0＜t＜4且t≠2，曲线y=f（x）在点A（t，f（t））处的切线与曲线y=f（x）相交于点B（m，f（m））（A，B不重合），直线x=t与y=f（m）相交于点C，△ABC的面积为S，试用t表示△ABC的面积S（t），若P为S（t）上一动点，D（4，0），求直线PD的斜率的取值范围．
已知函数f(x)=x+log2
x
3-x
(x∈(0，3))
（Ⅰ）求f（x）+f（3-x）；并判断函数y=f（x）的图象是否为一中心对称图形；
（Ⅱ）记S(n)=
1
2n
2n-1
i=1
f(1+
i
2n
)(n∈N*)，求S（n）；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象与直线x=1，x=2以及x轴所围成的封闭图形的面积为S，试探究S（n）与S的大小关系．
已知函数f（x）=ax2+ax和g（x）=x-a．其中a∈R且a≠0．
（1）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；
（2）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：△OAB的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的a的值；如果没有，请说明理由．
若函数f（x）在[0，1]上满足：对于任意的s，t∈[0，1]，λ＞0，都有
f(s)+λf(t)
1+λ
＜f(
s+λt
1+λ
)，则称f（x）在[0，1]上为凸函数．在三个函数f1（x）=x+1，f2（x）=ex-1，f3（x）=lg
x+1
中，在[0，1]上是凸函数的有
f3（x）=lg
x+1
f3（x）=lg
x+1
（写出您认为正确的所有函数）．
（2006•浦东新区一模）已知函数f(x)=x+log3
x4-x
．
（1）求f（x）+f（4-x）的值；
（2）猜测函数f（x）的图象具备怎样的对称性，并给出证明；
（3）若函数f（x）的图象与直线x=1，x=3及x轴所围成的封闭图形的面积为S，求S的值．

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