Question

已知函数f（x）=ax²+ax和g（x）=x-a．其中a∈R且a≠0．
（1）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；
（2）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：△OAB的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的a的值；如果没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设函数g（x）图象与x轴的交点坐标为（a，0），而点（a，0）也在函数f（x）的图象上，代入函数f（x）的解析式建立等式，解之即可求出a的值；
（2）依题意，f（x）=g（x），函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，则△＞0，求出a的范围，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出AB以及点O到直线g（x）=x-a的距离，从而求出三角形的面积关于a的函数，根据a的范围求出面积的最值．

解答：解：（1）设函数g（x）图象与x轴的交点坐标为（a，0），
又∵点（a，0）也在函数f（x）的图象上，∴a³+a²=0．
而a≠0，∴a=-1．
（2）依题意，f（x）=g（x），即ax²+ax=x-a，
整理，得  ax²+（a-1）x+a=0，①
∵a≠0，函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，
∴△＞0，即△=（a-1）²-4a²=-3a²-2a+1=（3a-1）（-a-1）＞0．
∴-1＜a＜

1

3

且a≠0．…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，由①得，x₁•x₂=1＞0，x1+x2=-

a-1

a

．
设点O到直线g（x）=x-a的距离为d，
则d=

|-a|

2

，|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2

|x1-x2|．
∴S_△OAB=

1

2

1+k2

|x1-x2|•

|-a|

2

=

1

2

-3a2-2a+1

=

1

2

-3(a+ 1 3 )2+ 4 3

．
∵-1＜a＜

1

3

且a≠0，∴当a=-

1

3

时，S_△OAB有最大值

3

3

，S_△OAB无最小值．

点评：本题主要考查了三角形面积的度量，以及利用二次函数研究函数的最值，属于中档题．