Question

已知函数f(x)=x+log2

x

3-x

(x∈(0，3))
（Ⅰ）求f（x）+f（3-x）；并判断函数y=f（x）的图象是否为一中心对称图形；
（Ⅱ）记S(n)=

1

2n

2n-1

i=1

f(1+

i

2n

)(n∈N*)，求S（n）；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象与直线x=1，x=2以及x轴所围成的封闭图形的面积为S，试探究S（n）与S的大小关系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把x及3-x分别代入已知函数即可求解f（x）+f（3-x）的值
（2）由（1）知，f(1+

1

2n

)+f(1+

2n-1

2n

)=3，f(1+

2

2n

)+f(1+

2n-2

2n

)=3，结合此规律，可考虑利用倒序相加可求和
（3）由f(x)=x+log2(

3

3-x

-1)为增函数，结合（1）知函数y=f（x）的图象关于点(

3

2

，

3

2

)对称，记点A（1，0），B（2，3），C（2，0），可求封闭图形的面积等于△ABC的面积，即S=

3

2

，而S(n)=

3

2

(1-

1

2n

)＜

3

2

，可判断

解答：解（Ⅰ）∵f（x）+f（3-x）

=(x+log2 3 3-x )+[(3-x)+log2 3-x x ] =3+log2( x 3-x • 3-x x ) =3

（2）S(n)=

1

2n

2n-1

i=1

f(1+

i

2n

)=

1

2n

[f(1+

1

2n

)+f(1+

2

2n

)+…+f(1+

2n-1

2n

)]①
S(n)=

1

2n

[f(1+

2n-1

2n

)+f(1+

2n-2

2n

)+…+f(1+

1

2n

)]②
由（Ⅰ）知，f(1+

1

2n

)+f(1+

2n-1

2n

)=3，f(1+

2

2n

)+f(1+

2n-2

2n

)=3…
①+②得：2S(n)=

1

2n

[3•(2n-1)]=3•(1-

1

2n

)，
∴S(n)=

3

2

(1-

1

2n

)
（3）∵f(x)=x+log2(

3

3-x

-1)为增函数，
∴x∈[1，2]时，f（x）＞f（1）=0
由（1）知函数y=f（x）的图象关于点(

3

2

，

3

2

)对称，记点A（1，0），B（2，3），C（2，0），
所求封闭图形的面积等于△ABC的面积，即S=

3

2

，
∵S(n)=

3

2

(1-

1

2n

)＜

3

2

，
∴S（n）＜S．

点评：本题以函数的基本运算为基本载体，主要考查了数列求和的倒序相加求解和的方法的应用，解题的关键是寻求题目的规律