Question

已知数列的前项和和通项满足（是常数且）。
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ) 当时，试证明；
(Ⅲ)设函数，，是否存在正整数，使对都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）
（2）略
（3）1，2，3

解: (Ⅰ)由题意，，得∴ …………1分
当时， ，
   ∴                     ………………3分
∴数列是首项，公比为的等比数列，∴ ………4分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知当时，       …………………5分
∵，∴  …………………………………………………6分
即    …………………………………………………………………………7分
(Ⅲ)∵
＝
=     ……………………9分
∵    ………………………………10分
∴＝ …12分
由得 -------()
∵()对都成立 ∴ ∵是正整数，∴的值为1,2,3。
∴使对都成立的正整数存在，其值为：1，2，3. …14分