Question

4．在直角坐标系内，点A（x，y）实施变换f后，对应点为A₁（y，x），给出以下命题：
①圆x²+y²=r²（r≠0）上任意一点实施变换f后，对应点的轨迹仍是圆x²+y²=r²（r≠0）；
②若直线y=kx+b上每一点实施变换f后，对应点的轨迹方程仍是y=kx+b，则k=-1；
③椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上每一点实施变换f后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆；
④曲线C：y=-x²+2x-1（x＞0）上每一点实施变换f后，对应点的轨迹是曲线C₁，M是曲线C上的任意一点，N是曲线C₁上的任意一点，则|MN|的最小值为$\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．
以上正确命题的序号是①③④（写出全部正确命题的序号）．

Answer 1

分析 本题的关键是理解点A（x，y）实施变换f后，对应点为A₁（y，x）这一变换过程，针对每一个方程给出变换后的正确方程．

解答 解：①圆x²+y²=r²（r≠0）上任意一点实施变换f后，
显然互换x，y后，对应点的轨迹仍是圆x²+y²=r²（r≠0）；
则①正确；
②若直线y=kx+b上每一点实施变换f后，
互换x，y后，对应点的轨迹方程：x=ky+b，若应点的轨迹方程仍是y=kx+b，
那么k=±1且b=0，则②不正确；
③椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上每一点实施变换f后，
对应点的轨迹：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
那么对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆，则③正确；
④曲线C：y=-x²+2x-1（x＞0）上每一点实施变换f后，
对应点的轨迹是曲线C₁：x=-y²+2y-1（x＞0）
将y=x向下平移$\frac{3}{4}$个单位得到直线y=x-$\frac{3}{4}$，那么直线y=x-$\frac{3}{4}$与y=-x²+2x-1（x＞0）相切，
那么y=x与直线y=x-$\frac{3}{4}$的距离是$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，利用对称性可知，则|MN|的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
则④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查直线和圆的方程的求法，以及椭圆和抛物线的方程和性质，是一道高考常见的题型．