题目内容

已知点P（x，y）是曲线 $数学公式$ 上的动点，则点P到直线y=x+3的距离的最大值是________．

$\text{[math]}$
分析：利用三角换元，假设点的坐标，利用点到直线的距离公式，求出点P到直线y=x+3的距离，进而可求其最大值．
解答：∵点P（x，y）是曲线 $\text{[math]}$ 上的动点，
∴设P（cosα，sinα）（α∈[0，π]）
∴点P到直线y=x+3的距离为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵α∈[0，π]
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 取得最大值为 $\text{[math]}$
即点P到直线y=x+3的距离的最大值是 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题考查直线与圆的综合运用，考查点到直线的距离，解题的关键是利用三角换元，假设点的坐标，再利用点到直线的距离公式，求出点P到直线y=x+3的距离