Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，，，分别为，的中点，点在线段上．

（Ⅰ）求证：平面．

（Ⅱ）若为的中点，求证：平面．

（Ⅲ）如果直线与平面所成的角和直线与平面所在的角相等，求的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ).

【解析】

试题分析：

(Ⅰ)由平行四边形的性质可得，有中点的性质有，则，

由面面垂直的性质定理可得，结合线面垂直的判断定理可得平面．

(Ⅱ)由三角形中位线的性质可得，则平面，同理，得平面，利用面面平行的判断定理可得平面平面，则平面．

(Ⅲ)由题意可知，，两两垂直，以，，分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，结合几何关系点的坐标可得平面的法向量，平面的法向量为，由于直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，据此结合空间向量计算可得．

试题解析：

（Ⅰ）证明：在平行四边形中，

∵，，，

∴，∵，分别为，的中点，

∴，∴，

∵侧面底面，且，

∴底面，∴，

又∵，平面，平面，

∴平面．

（Ⅱ）证明：∵为的中点，为的中点，

∴，又∵平面，平面，

∴平面，同理，得平面，

又∵，平面，平面，

∴平面平面，又∵平面，

∴平面．

（Ⅲ）解：∵底面，，

∴，，两两垂直，故以，，分别为轴，轴和轴建立如图空间直角坐标系，

则，，，，，，

所以，，，

设，则，

∴，，

易得平面的法向量，

设平面的法向量为，则：

，即，令，得，

∴直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，

∴，即，

∴，解得或（舍去），

故．