Question

6．对于函数f（x）=A（$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x）（A≠0），下列命题：
①若A＞0，则函数f（x）的最大值为A；
②“A＞0”是“函数f（x）的单调区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）”充分必要条件；
③点（$\frac{π}{12}$，A）是函数f（x）的图象上的一个对称中心；
④若x₁、x₂是函数f（x）的两个零点，则|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{3}$．
其中真命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=Asin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$A，若A＞0，则可求函数f（x）的最大值为$\frac{1}{2}$A；
②由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，由正弦函数的图象和性质即可得解．
③由2x-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z可解得y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的对称中心为：（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，0），k∈Z，从而可得f（x）=Asin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$A的对称中心为：（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，-$\frac{1}{2}$A），k∈Z；
④求得f（x）的周期，则|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{2}$，即可判断．

解答 解：①∵f（x）=A（$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x）（A≠0）
=A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1+cos2x}{2}$）
=Asin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$A，
∴①若A＞0，则函数f（x）的最大值为A$-\frac{1}{2}$A=$\frac{1}{2}$A，不正确；
②∵由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，
∴由正弦函数的图象和性质可知“A＜0”时，函数f（x）的单调递减区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z），故应是充分不必要条件．②错误；
③由2x-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z可解得y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的对称中心为：（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，0），k∈Z，
故f（x）=Asin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$A的对称中心为：（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，-$\frac{1}{2}$A），k∈Z，故错误；
④∵若x₁、x₂是函数f（x）的两个零点，
∴Asin（2x₁-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$A=0，Asin（2x₂-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$A=0，解得：x₁=k$π+\frac{π}{6}$，x₂=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，
则|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{3}$，故正确．
综上，真命题的个数为1．
故选：A．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦函数的图象和性质，熟练掌握正弦函数的图象和性质是解题的关键，属于基本知识的考查．