Question

若a，b是正常数，a≠b，x，y∈（0，+∞），则

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

，当且仅当

a

x

=

b

y

时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)=

2

x

+

9

1-2x

（x∈(0，

1

2

)）的最小值为

 

．

Answer 1

分析：利用题中的结论：“

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

，当且仅当

a

x

=

b

y

时上式取等号”，将f（x）变形为 f(x)=

22

2x

+

32

1-2x

即可．

解答：解：将f（x）变形为 f(x)=

22

2x

+

32

1-2x

由题中结论得：
f(x)=

22

2x

+

32

1-2x

≥

(2+3)2

2x+(1-2x)

=25．
当且仅当

2

2x

=

3

1-2x

，
即 x=

1

5

时上式取最小值，即[f（x）]_min=25．
故答案为：25．

点评：本题考查不等式的应用，另外给你一种解题工具，让你应用它来解答某一问题，这是近年考试命题的一种新颖的题型之一，很值得读者深刻反思和领悟当中的思维本质．