Question

2．如图，直线l过抛物线y²=4x的焦点F且分别交抛物线及其准线于A，B，C，若$\frac{BF}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则|AB|=5．

Answer 1

分析 作AM、BN垂直准线于点M、N，根据$\frac{BF}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，和抛物线的定义，可得tan∠NCB=2，从而可得直线方程，与抛物线方程联立，利用抛物线的定义，即可得出结论．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，
∵$\frac{BF}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴sin∠NCB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴tan∠NCB=2
∴AF的方程为y=2（x-1），
代入y²=4x，可得x²-3x+1=0
∴x₁+x₂=3，
∴|AB|=x₁+x₂+2=5．
故答案为：5．

点评 此题是个中档题．考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．．