Question

设x₁,x₂∈R,常数a＞0,定义运算“*”:x₁*x₂=(x₁+x₂)²-(x₁-x₂)².

(1)若x≥0,求动点P(x,)轨迹C的方程;

(2)若a=2,不过原点的直线l与x轴,y轴的交点分别为T,S,并且与(1)中轨迹C交于不同的两点P,Q,试求+的取值范围;

(3)设P(x,y)是平面上的任一点,定义d₁(P)=,d₂(P)=.若在(1)中轨迹C上存在不同的两点A₁,A₂,使得d₁(A_i)=d₂(A_i)(i=1,2)成立,求实数a的取值范围.

Answer 1

解:(1)设y=.

又由y=≥0,可得动点P(x,)轨迹C的方程为y²=4ax(y≥0).

(2)由题得y²=8x(y≥0),设直线l:x=my+c,依题意m＞0,c＜0,则T(c,0).S,T,P,Q都在直线l上,

则=|c|().

由题得c＜0,x_P＞0,x_Q＞0,

∴=-c·()=.

由消去y得x²-(2c+8m²)x+c²=0.

∴

∵c＜0,∴m²＞c,代入x_P+x_Q=2c+8m²,x_P·x_Q=c²,得=2,

又由m²＞c,c＜0知＜,

∴＞4,-2＞2,

即的取值范围是(2,+∞).

(3)由d₁(P)==,

d₂(P)==|x-a|,

设A₁(x₁,y₁),A₂(x₂,y₂),依题意则有|x₁-a|,|x₂-a|,

故方程|x-a|在x∈［0,+∞)上有两个不等的实数解.

平方整理有(a-1)x²-(2a²+4a)x+a³=0在x∈［0,+∞)上有两个不等的实数解.

∴又因a＞0,得a＞1.故实数a的取值范围是(1,+∞).