Question

设x₁,x₂∈R,常数a＞0,定义运算“*”：x₁*x₂=(x₁+x₂)²-(x₁-x₂)².

(1)若x≥0，求动点P（x,)轨迹C的方程；

（2）若a=2,不过原点的直线l与x轴,y轴的交点分别为T,S,并且与(1)中轨迹C交于不同的两点P,Q,试求的取值范围.

Answer 1

解:(1)设y===.又由y=≥0,可得动点P(x,)轨迹C的方程为y²=4ax(y≥0).

(2)由题意得y²=8x(y≥0),设直线l:x=my+c,依题意m＞0,c＜0,则T(c,0).S,T,P,Q都在直线l上,

则+==|c|(+).

由题意得c＜0,x_P＞0,x_Q＞0,

∴+=-c·(+)=.

由消去y得x²-(2c+8m²)x+c²=0.

∴

∵c＜0,∴m²＞c,代入x_P+x_Q=2c+8m²,x_P·x_Q=c²,得+=2,

又由m²＞c,c＜0知＜,∴＞4,-2＞2,

即+的取值范围是(2,+∞).