Question

一个多面体的直观图及三视图如图所示，M、N分别是AB₁、A₁C₁的中点．
（1）求证：MN⊥AB₁，MN∥平面BCC₁B₁；
（2）求二面角A-BC₁-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证直线与直线垂直，利用空间直角坐标系，根据坐标求数量积为0即可；证线与平面平行，证明向量共线即可．
（2）二面角的余弦值，利用三垂线定理，作出二面角的平面角，求解即可．
解答：（1）证明：由三视图可知，在这个多面体的直观图中，AA₁⊥平面ABC，且AC⊥BC，AC=3，BC=BB₁=4
∴CA，CB，CC₁两两垂直
以C为原点，CA，CB．CC₁所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则由已知可得：C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C₁（0，0，4），A₁（3，0，4），B₁（0，4，4），故M，2，2），N，0，4）
∴，
∴
∴MN⊥AB₁，
∵，∴
∴MN∥BC₁，
∵MN?平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁；
∴MN∥平面BCC₁B₁；
（2）解：过A作AH⊥BC₁于H，连接CH，则CH⊥BC₁，
∴∠AHC是二面角A-BC₁-C的平面角
在直角△BC₁C中，CH=BCsin∠CBC₁=4sin45°=2
在直角△ACH中，AC=3，CH=2，∴AH=，
∴cos∠AHC==
∴二面角A-BC₁-C的余弦值为
点评：本题考查了学生对空间直角坐标系的运用，二面角的作法，其中根据三视图，判断出该几何体为直三棱柱是解答本题的关键．是中档题．