题目内容

在数列{a_n}中，已知a₁=1，且数列{a_n}的前n项和S_n满足4S_n+1-3S_n=4，n∈N^．
（1）证明数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{na_n}的前n项和为T_n，若不等式 $数学公式$ 对任意的n∈N^恒成立，求实数a的取值范围．

解：（1）∵已知 $\text{[math]}$ ，∴n≥2时，4S_n-3S_n-1=4．
相减得4a_n+1-3a_n=0、又易知a_n≠0，∴ $\text{[math]}$ ． …（4分）
又由 $\text{[math]}$ 得4（a₁+a₂）-3a₁=4，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
故数列{a_n}是等比数列． …（5分）
（2）由（1）知 $\text{[math]}$ ． …（6分）
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
相减得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，…（8分）
∴不等式 $\text{[math]}$
为 $\text{[math]}$ ．
化简得4n²+16n＞a．
设f（n）=4n²+16n，
∵n∈N^*∴f（n）_min=f（1）=20．
故所求实数a的取值范围是（-∞，20）． …（10分）
分析：（1）利用4S_n+1-3S_n=4，推出 $\text{[math]}$ 是常数，然后已知 $\text{[math]}$ ，即可证明数列{a_n}是等比数列；
（2）利用错位相减法求出数列{na_n}的前n项和为T_n，化简不等式 $\text{[math]}$ ，通过对任意的n∈N^*恒成立，求实数a的取值范围．
点评：本题考查等比数列的判断，数列通项公式与前n项和的求法，恒成立问题的应用，考查计算能力．