题目内容
已知函数f（x）=x|x-2|．（1）写出f（x）的单调区间；
（2）设a＞0，求f（x）在[0，a]上的最大值．
【答案】分析：（1）首先去掉函数的绝对值，写成分段函数，然后求出函数的单调增区间与单调减区间；
（2）设a＞0，对a进行讨论分0＜a＜1时，1≤a≤2、
、
，借助函数的单调区间分别求f（x）在[0，a]上的最大值．
解答：解：（1）f（x）=x|x-2|=
=
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，1]和[2，+∞），单调递减区间是[1，2]．
（2）①当0＜a＜1时，f（x）在[0，a]上是增函数，
此时f（x）在[0，a]上的最大值是f（a）=a（2-a）；
②当1≤a≤2时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，
所以此时f（x）在[0，a]上的最大值是f（1）=1
③当
时，f（x）在[0，1]是增函数，在[1，2]上是减函数，在[2，a]上是增函数，
而
，
所以此时f（x）在[0，a]上的最大值是f（1）=1
④当
时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，2]上是减函数，在[2，a]上是增函数，
而
，
所以此时f（x）在[0，a]上的最大值是f（a）=a（a-2）
综上所述，f（x）max=
．
点评：本题是中档题，考查二次函数的最值的应用，考查分类讨论思想，计算能力．
（2）设a＞0，对a进行讨论分0＜a＜1时，1≤a≤2、
、
，借助函数的单调区间分别求f（x）在[0，a]上的最大值．解答：解：（1）f（x）=x|x-2|=
=
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，1]和[2，+∞），单调递减区间是[1，2]．
（2）①当0＜a＜1时，f（x）在[0，a]上是增函数，
此时f（x）在[0，a]上的最大值是f（a）=a（2-a）；
②当1≤a≤2时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，
所以此时f（x）在[0，a]上的最大值是f（1）=1
③当
时，f（x）在[0，1]是增函数，在[1，2]上是减函数，在[2，a]上是增函数，而
，所以此时f（x）在[0，a]上的最大值是f（1）=1
④当
时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，2]上是减函数，在[2，a]上是增函数，而
，所以此时f（x）在[0，a]上的最大值是f（a）=a（a-2）
综上所述，f（x）max=
．点评：本题是中档题，考查二次函数的最值的应用，考查分类讨论思想，计算能力．
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|