Question

设椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，点A（a，0），B（0，-b），原点O到直线AB的距离为

2 3

3

．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=2x+m与椭圆M相交于C、D不同两点，经过线段CD上点E的直线与y轴相交于点P，且有

PE

•

CD

=0，|

PC

|=|

PD

|，试求△PCD面积S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由e2=1-

b2

a2

=

1

2

得a=

2

b．可得直线AB的方程为x-

2

y-

2

b=0，于是

|- 2b |

3

=

2 3

3

，由此能够求出椭圆M的方程．
（Ⅱ）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由方程组

y=2x+m x2 4 + y2 2 =1

，得9x²+8mx+2m²-4=0，所以有x1+x2=-

8m

9

，x1x2=

2m2-4

9

，且△≥0，即m²≤18.|CD|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

2 10

9

•

18-m2

．由

PE

⊥

CD

，E是线段CD的中点，由此能求出S的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由e2=1-

b2

a2

=

1

2

得a=

2

b  （2分）
可得直线AB的方程为x-

2

y-

2

b=0，于是

|- 2b |

3

=

2 3

3

，
得b=

2

，b²=2，a²=4，所以椭圆M的方程为

x2

4

+

y2

2

=1  （2分）
（Ⅱ）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由方程组

y=2x+m x2 4 + y2 2 =1

，
得9x²+8mx+2m²-4=0，
所以有x1+x2=-

8m

9

，x1x2=

2m2-4

9

，且△≥0，即m²≤18．（2分）
|CD|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

5

-

(x2-x1)2

=

5

-

(x2+x1)2-4x1x2

=

5

-

64m2 81 -4× 2m2-4 9

=

2 10

9

•

18-m2

．（2分）
因为

PE

•

CD

=0，
所以

PE

⊥

CD

，
又|

PC

| =|

PD

|，
所以E是线段CD的中点，
点E的坐标为(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，即E的坐标是(-

4m

9

，

m

9

)，
因此直线PE的方程为y=-

1

2

(x+

4m

9

)+

m

9

，得点P的坐标为（0，-

m

9

），
所以|PE|=

(- 4m 9 -0)2+[ m 9 -(- m 9 )]2

=

2 5 |m|

9

．（2分）
因此S=

1

2

|CD||PE|=

1

2

•

2 10

9

•

18-m2

=

10 2

81

•

18m2-m4

．
所以当m²=9，即m=±3时，S取得最大值，最大值为Smax=

10 2

9

．

点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．